（1）已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°.求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点

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（1）已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且 ∠DCE=45°. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；
（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值。

题型：解答题难度：偏难来源：北京模拟题

答案

解：（1）证明：如图①，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°
以CE为一边作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，则CF=CB=AC
连接DF、EF，则△CFE≌△CBE
∴FE=BE，∠1=∠B=45°
∵∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°
∴∠DCA+∠ECB=45°
∴∠DCF=∠DCA
∴△DCF≌△DCA
∴∠2=∠A=45°，DF=AD
∴∠DFE=∠2+∠1=90°
∴△DFE是直角三角形
又AD=DF，EB=EF，
∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形
（2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，
如图②，与（1）类似，以CE为一边，作 ∠ECF=∠ECB，
在CF上截取CF=CB，可得 △CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA
∴AD=DF，EF=BE.
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE
∴当AD=BE时
线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形且顶角∠DFE为120°
（3）证明：如图①，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠CDB=∠ACD+∠A
又∠DCE=∠A=45°
∴∠ACE=∠CDB. 又∠A=∠B，
∴△ACE∽△BDC
∴
∴
∵Rt△ACB中，由得

∴

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（1）已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°.求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点

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