如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上。（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。（2）当△PQC的周长与四边

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如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上。
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。
（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形，若不存在，请简要说明理由：若存在，请求出PQ的长。

题型：解答题难度：偏难来源：江苏期末题

答案

解：（1） ∵PQ//AB     ∴△PQC∽△ABC
∵S△PQC=S四边形APBQ
∴   ∴
∴CP=CA·=2
（2）△PQC∽△ABC
∴
∴CQ =CP
同理：PQ = CP
∴l△PCQ = CP + PQ + CQ = CP+CP +CP=3CP
l四边形PABQ=  PA+AB +BQ+PQ
                   = 4 - CP + AB + 3 - CQ + PQ
                    = 4 - CP +5 +3 -CP+CP
                    = 12 -CP
∴12 -CP = 3CP
∴CP=12    ∴CP=

（3）1。 ∵AC = 4，AB = 5，BC = 3 ∴△ABC的高为
当∠MPQ = 90°且PM=PQ时
∵△CPQ∽△CAB
∴ ∴
∴

2。∠PQM=90°时与1。相同
3。当∠PMQ=90°，且PM = MQ时
过M作ME⊥PQ   则ME= PQ
∴△CPQ的高为-ME =-PQ
∴    ∴
∴PQ=
综合l。2。3。 ∴点M存在，PQ的长为或。

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如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上。（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。（2）当△PQC的周长与四边

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