设对于任意的实数x，y，函数，满足，且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N*。（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和Sn；（Ⅲ）设F（n）=Sn-3n，存在

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设对于任意的实数x，y，函数，满足，且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+
2y，g（5）=13，n∈N*。
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和S_n；
（Ⅲ）设F（n）=S_n-3n，存在整数m和M，使得对任意正整数n不等式m<F（n）<M恒成立，求M-m的最小值。

题型：解答题难度：偏难来源：0103 模拟题

答案

解：（Ⅰ）取x=n，得，
取x=0，得，
故数列是首项是1，公比为的等比数列，所以f（n）=（） n-1。
取x=n，y=1得，即，
故数列是公差为2的等差数列，
又，
所以。
（Ⅱ），
∴，
，
两式相减，得，
∴。
（Ⅲ），
∴，
所以F（n）是增函数，那么F（n）min=F（1）=1，
由于，则，
由于，则，
所以，
因此当m<1且时，恒成立，
所以存在正数m=0，-1，-2，…，M=3，4，5…
使得对任意的正整数n，不等式恒成立，此时（M-m）min=3。

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设对于任意的实数x，y，函数，满足，且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N*。（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和Sn；（Ⅲ）设F（n）=Sn-3n，存在

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