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> .(本小题满分10分)如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.-高三数学
.(本小题满分10分)如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.-高三数学
题目简介
.(本小题满分10分)如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.-高三数学
题目详情
. (本小题满分10分)如图,在三棱锥
中,
底面
,点
,
分别在棱
上,且
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)当
为
的中点时,求
与平面
所成的角的大小;
(Ⅲ)是否存在点
使得二面角
为直二面角?并说明理
由.
题型:解答题
难度:偏易
来源:不详
答案
解:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC. ………3分
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴
,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
,
∴在Rt△ABC中,
,∴
.
∴在Rt△ADE中,
,
∴
与平面
所成的角的大小
.………8分
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE
平面PAC,PE
平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角
的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴
.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
,
故存在点E使得二面角
是直二面角. ………12分
【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系
,
设
,由已知可得
.
(Ⅰ)∵
,
∴
,∴BC⊥AP.
又∵
,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC. ………3分
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴
,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵
,
∴
.
∴
与平面
所成的角的大小
.………8分
(Ⅲ)同解法1.
略
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下列命题中正确的是()A.过平面
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(本小题满分12分)如图,在三棱锥中
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题目简介
.(本小题满分10分)如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.-高三数学
题目详情
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)当
(Ⅲ)是否存在点
由.
答案
又
∴BC⊥平面PAC. ………3分
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
∴在Rt△ABC中,
∴在Rt△ADE中,
∴
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE
∴∠AEP为二面角
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
故存在点E使得二面角
【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系
设
(Ⅰ)∵
∴
又∵
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵
∴
∴
(Ⅲ)同解法1.