如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AB=1,G是PD的中点,E是AB的中点(1)求证:GA⊥面PCD;(2)求证:GA∥面PCE;(3)求点G到面PCE的距

题目简介

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AB=1,G是PD的中点,E是AB的中点(1)求证:GA⊥面PCD;(2)求证:GA∥面PCE;(3)求点G到面PCE的距

题目详情

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AB=1,G是PD的中点,E是AB的中点
(1)求证:GA⊥面PCD;
(2)求证:GA面PCE;
(3)求点G到面PCE的距离.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:∵CD⊥AD,CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG,
又PD⊥AG,∴GA⊥面PCD
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(2)证明:作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD,又由(Ⅰ)知AG⊥平面PCD
∴EFAG,又AG⊄面PEC,EF⊂面PEC,
∴GA面PCE
(3)由GA面PCE知A、G两点到平面PEC的距离相等
由(2)知A、E、F、G四点共面,又AECD∴AE平面PCD
∴AEGF,∴四边形AEFG为平行四边形,∴AE=GF
PA=AB=1,G为PD中点,FG
.
.
class="stub"1
2
CD
∴FG=class="stub"1
2
∴AE=FG=class="stub"1
2
(9分)
VP-AEC=class="stub"1
3
(class="stub"1
2
•class="stub"1
2
•1)•1=class="stub"1
12

又EF⊥PC,EF=AG=
2
2

S△EPC=class="stub"1
2
PC•EF=class="stub"1
2
3
2
2
6
4

又VP-AEC=VA-PEC,∴class="stub"1
3
S△EPC•h=class="stub"1
12
,即
6
12
h=class="stub"1
12
,∴h=
6
6

∴G点到平面PEC的距离为
6
6

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