数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=xn（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+

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数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？
经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=xn（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：
1×2=n（1×2×3﹣0×1×2）
2×3=x（2×3×4﹣1×2×3）
3×4=n（3×4×5﹣2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20．读完这段材料，请你计算：
（1）1×2+2×3+…+100×101=_________；（直接写出结果）
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）；（写出计算过程）
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=_________．

题型：探究题难度：偏难来源：广东省期中题

答案

解：（1）∵1×2+×2×3+3×4=m×3×4×5=×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101=×100×101×102=343400；
（2）∵1×2=n（1×2×3﹣0×1×2）=（1×2×3﹣0×1×2），
2×3=x（2×3×4﹣1×2×3）=（2×3×4﹣1×2×3），
3×4=n（3×4×5﹣2×3×4）=（3×4×5﹣2×3×4），
…
n（n+1）=[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，
∴1×2+2×3+…+n（n+1）=[1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，
=n（n+1）（n+2）；
（3）根据（2）的计算方法，
1×2×3=n（1×2×3×4﹣0×1×2×3）=（1×2×3×4﹣0×1×2×3），
2×3×4=x（2×3×4×5﹣1×2×3×4）=（2×3×4×5﹣1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=（1×2×3×4﹣0×1×2×3+2×3×4×5﹣1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，
=n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：（1）343400；（2）n（n+1）（n+2）；（3）n（n+1）（n+2）（n+3）．

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数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=xn（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+

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