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已知函数f(x)=32sin2x-12(cos2x-sin2x)-1，x∈R，将函数f（x）向左平移π6个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．（Ⅰ）若c=7，f（C

题目简介

已知函数f(x)=32sin2x-12(cos2x-sin2x)-1，x∈R，将函数f（x）向左平移π6个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．（Ⅰ）若c=7，f（C

题目详情

已知函数f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1，x∈R，将函数f（x）向左平移
π
6
个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（Ⅰ）若c=
7
，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（Ⅱ）若g（B）=0且
m
=(cosA，cosB)，
n
=(1，sinA-cosAtanB)，求
m
•
n
的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：江西模拟

答案

（Ⅰ）f(x)=
3
2
sin2x-class="stub"1
2
(cos2x-sin2x)-1=
3
2
sin2x-class="stub"1
2
cos2x-1=sin(2x-class="stub"π
6
)-1．…（1分）
f(C)=sin(2C-class="stub"π
6
)-1=0，所以sin(2C-class="stub"π
6
)=1．
因为2C-class="stub"π
6
∈(-class="stub"π
6
，class="stub"11π
6
)，
所以2C-class="stub"π
6
=class="stub"π
2

所以C=class="stub"π
3
．…（3分）
由余弦定理知：a2+b2-2abcosclass="stub"π
3
=7，因sinB=3sinA，
所以由正弦定理知：b=3a．…（5分）
解得：a=1，b=3…（6分）
（Ⅱ）由题意可得g(x)=sin(2x+class="stub"π
6
)-1，所以g(B)=sin(2B+class="stub"π
6
)-1=0，所以sin(2B+class="stub"π
6
)=1．
因为2B+class="stub"π
6
∈(class="stub"π
6
，class="stub"13π
6
)，所以2B+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
，即B=class="stub"π
6

又
m
=(cosA，
3
2
)，
n
=(1，sinA-
3
3
cosA)，
于是
m
•
n
=cosA+
3
2
(sinA-
3
3
cosA)=class="stub"1
2
cosA+
3
2
sinA=sin(A+class="stub"π
6
)…（8分）
∵B=class="stub"π
6
∴A∈(0，class="stub"5
6
π)，得 A+class="stub"π
6
∈(class="stub"π
6
，π)…（10分）
∴sin(A+class="stub"π
6
)∈(0，1]，即
m
•
n
∈(0，1]．…（12分）

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