首页 > 已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+12an=1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3（1-Sn+1），求适合方程1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=2551的n的值．

已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+12an=1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3（1-Sn+1），求适合方程1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=2551的n的值．

题目简介

已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+12an=1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3（1-Sn+1），求适合方程1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=2551的n的值．

题目详情

已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+
1
2
an=1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log3（1-Sn+1），求适合方程
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
=
25
51
的n的值．
题型：解答题难度：中档来源：浙江模拟

答案

（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由S1+class="stub"1
2
a1=1，得a1=class="stub"2
3
．
当n≥2时，
∵Sn=1-class="stub"1
2
an，Sn-1=1-class="stub"1
2
an-1，
∴Sn-Sn-1=class="stub"1
2
(an-1-an)，即an=class="stub"1
2
(an-1-an)．
∴an=class="stub"1
3
an-1．
∴{an}是以class="stub"2
3
为首项，class="stub"1
3
为公比的等比数列．
故an=class="stub"2
3
•(class="stub"1
3
)n-1=2•(class="stub"1
3
)n． （7分）

（Ⅱ）1-Sn=class="stub"1
2
an=(class="stub"1
3
)n，
bn=log3(1-Sn+1)=log3(class="stub"1
3
)n+1=-n-1，（9分）
class="stub"1
bnbn+1
=class="stub"1
(n+1)(n+2)
=class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
class="stub"1
b1b2
+class="stub"1
b2b3
++class="stub"1
bnbn+1
=(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
4
)++(class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)=class="stub"1
2
-class="stub"1
n+2
（11分）
解方程class="stub"1
2
-class="stub"1
n+2
=class="stub"25
51
，得n=100（14分）

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