首页 > 若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+（2n-1），且cn=an•b

若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+（2n-1），且cn=an•b

题目简介

若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+（2n-1），且cn=an•b

题目详情

若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+（2n-1），且cn=
an•bn
n
，求数列{cn}的通项及其前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由题意Sn=2n，Sn-1=2n-1（n≥2），
两式相减得an=2n-2n-1=2n-1（n≥2）．
当n=1时，a1=S1=2，
∴an=
2       n=1
2n-1   n≥2
．
（Ⅱ）∵bn+1=bn+（2n-1），
∴bn-bn-1=2n-3
bn-1-bn-2=2n-5
…
b4-b3=5
b3-b2=3
b2-b1=1，
以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+（2n-3）
=
(n-1)(1+2n+3)
2
=（n-1）2
∵b1=-1，∴bn=n2-2n．
∴cn=
-2，n=1
(n-2)×2n-1，n≥2
．
∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+（n-2）×2n-1，
∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+（n-2）×2n．
∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-（n-2）×2n
=
2(1-2n-1)
1-2
-(n-2)×2n
=2n-2-（n-2）×2n=-2-（n-3）×2n．
∴Tn=2+（n-3）×2n．

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