首页 > 已知：如图，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点M是O1O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O1、⊙O2于B、C．（1）求证：AB=AC；（2）若O1A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别

已知：如图，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点M是O1O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O1、⊙O2于B、C．（1）求证：AB=AC；（2）若O1A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别

题目简介

已知：如图，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点M是O1O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O1、⊙O2于B、C．（1）求证：AB=AC；（2）若O1A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别

题目详情

已知：如图，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点M是O1O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O1、⊙O2于B、C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若O1A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2，求证：d1+d2=O1O2；
（3）在（2）条件下，若d1d2=1，设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2=
(R2+r2)2
R2r2
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）分别作O1D⊥AB于点D，O2E⊥AC于点E．
则AB=2AD，AC=2AE．
∵O1D∥AM∥O2E，
∵M为O1O2的中点，
∴AD=AE，AB=AC．

（2）∵O1A切⊙O2于点A，
∴O1A⊥O2A，
又∵M为O1O2的中点，O1O2=2AM
在梯形O1O2ED中，
∵AM为梯形的中位线，O1D+O2E=2AM，
∴O1D+O2E=O1O2，
即d1+d2=O1O2．

（3）∵O1A⊥O2A，
∴∠AO1D=∠O2AE，
∴Rt△O1AD∽Rt△AO2E．
∴class="stub"AD
O2E
=
O1D
AE
=
O1A
O2A
，
即class="stub"AD
d2
=
d1
AE
=class="stub"R
r
．
∴AD•AE=d1•d2=1．
即由（1）（2）知，AD=AE=1，O1O2=d1+d2，
∴d1=class="stub"R
r
，d2=class="stub"r
R
，
∴R2+r2=O1O22=（d1+d2）2=（class="stub"R
r
+class="stub"r
R
）2=
(R2+r2)2
R2r2
．

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