首页 > 如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．-数学

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．-数学

题目简介

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．-数学

题目详情

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2
2
．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）建立如图所示的直角坐标系，

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则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD=2，BD=2
2
，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
AP
=(0，0，2)，
AC
=(2，2，0)，
BD
=(-2，2，0)
∵
BD
•
AP
=0，
BD
•
AC
=0，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（2）由（1）得
PD
=(0，2，-2)，
CD
=(-2，0，0)．
设平面PCD的法向量为
n1
=(x，y，z)，
则
n1
•
PD
=0，
n1
•
CD
=0，
即
0+2y-2z=0
-2x+0+0=0
，
∴
x=0
y=z
，故平面PCD的法向量可取为
n1
=(0，1，1)
∵PA⊥平面ABCD，
∴
AP
=(0，01)为平面ABCD的法向量．
设二面角P-CD-B的大小为θ，依题意可得cosθ=|
n1
•
AP
|
n1
|•|
AP
|
|=
2
2
．
（3）由（Ⅰ）得
PB
=(2，0，-2)，
PD
=(0，2，-2)，
设平面PBD的法向量为
n2
=(x，y，z)，
则
n2
•
PB
=0，
n2
•
PD
=0，即
2x+0-2z=0
0+2y-2z=0
，
∴x=y=z，故可取为
n2
=(1，1，1)．
∵
PC
=(2，2，-2)，
∴C到面PBD的距离为d=|
n2
•
PC
|
n2
|
|=
2
3
3

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