如图,在棱长为的正方体中,为线段上的点,且满足.(Ⅰ)当时,求证:平面平面;(Ⅱ)试证无论为何值,三棱锥的体积恒为定值;(Ⅲ)求异面直线与所成的角的余弦值.-高三数学

题目简介

如图,在棱长为的正方体中,为线段上的点,且满足.(Ⅰ)当时,求证:平面平面;(Ⅱ)试证无论为何值,三棱锥的体积恒为定值;(Ⅲ)求异面直线与所成的角的余弦值.-高三数学

题目详情

如图,在棱长为的正方体中,为线段上的点,且满足
.
(Ⅰ)当时,求证:平面平面
(Ⅱ)试证无论为何值,三棱锥的体积
恒为定值;
(Ⅲ)求异面直线所成的角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


18.解:
方法一、证明:(Ⅰ)∵正方体中,
∴平面平面, ………………2分
时,的中点,∴
又∵平面平面
平面
平面,∴平面平面.………4分
(Ⅱ)∵为线段上的点,
∴三角形的面积为定值,即
………………6分
又∵平面,∴点到平面的距离为定值,即, ………………8分
∴三棱锥的体积为定值,即
也即无论为何值,三棱锥的体积恒为定值;………………………10分
(Ⅲ)∵由(Ⅰ)易知平面
平面,∴,             …………………………12分
即异面直线所成的角为定值,从而其余弦值为.…………………13分
方法二、如图,以点为坐标原点,建立如图所示的坐标系.
(Ⅰ)当时,即点为线段的中点,则,又
,设平面的法向量为,……1分
,即,令,解得,        …2分
又∵点为线段的中点,∴,∴平面
∴平面的法向量为,           ……………3分

∴平面平面,           ………………………4分
(Ⅱ)略;
(Ⅲ)∵,∴,  …………………10分

,   ……………………………11分
   …………………………………12分
∴不管取值多少,都有,即异面直线所成的角的余弦值为0.……13分

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