(本小题满分14分)如图1,在直角梯形中,,,且.现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直,为的中点,如图2.(1)求证:∥平面;(2)求证:平面;(3)求点-高三数学

题目简介

(本小题满分14分)如图1,在直角梯形中,,,且.现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直,为的中点,如图2.(1)求证:∥平面;(2)求证:平面;(3)求点-高三数学

题目详情

(本小题满分14分)
如图1,在直角梯形中,,且
现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直,的中点,如图2.
(1)求证:∥平面
(2)求证:平面
(3)求点到平面的距离.

题型:解答题难度:中档来源:不详

答案



(1)证明:取中点,连结
在△中,分别为的中点,
所以,且
由已知
所以,且.                     …………………………3分
所以四边形为平行四边形.
所以.                                  …………………………4分
又因为平面,且平面
所以∥平面.                               ………………………5分
(2)证明:在正方形中,
又因为平面平面,且平面平面
所以平面. 
所以.                                     ………………………7分
在直角梯形中,,可得
在△中,
所以
所以.                                   …………………………8分
所以平面.                             …………………………10分
(3)解法一:由(2)知,平面
又因为平面,所以平面平面.   ……………………11分
过点的垂线交于点,则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度      ………………………12分   在直角三角形中,
所以
所以点到平面的距离等于.                 ………………………14分
解法二:由(2)知,
所以
             ………………………12分
,设点到平面的距离为
则  
所以  
所以点到平面的距离等于.                 ………………………14分

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