(本小题满分12分)如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.(I)求证:PD⊥BC;(II)求二面角B—PD—C的大小.-高三数学

题目简介

(本小题满分12分)如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.(I)求证:PD⊥BC;(II)求二面角B—PD—C的大小.-高三数学

题目详情

(本小题满分12分)
如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.


 
  (I)求证:PD⊥BC;

  (II)求二面角B—PD—C的大小.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案


(1)略
(2)


 
方法一:

  (I)证明:∵平面PCD⊥平面ABCD,
又∵平面PCD∩平面ABCD=CD,
BC在平面ABCD内 ,BC⊥CD,
∴BC⊥平面PCD.
∴PD⊥BC.                          …………6分
(II)解:取PD的中点E,连接CE、BE,
为正三角形,

由(I)知BC⊥平面PCD,
∴CE是BE在平面PCD内的射影,
∴BE⊥PD.
∴∠CEB为二面角B—PD—C的平面角.  …………9分


∴二面角B—PD—C的大小为                 …………12分


 
方法二:(I)证明:取CD的中点为O,连接PO,

∵PD=PC,∴PO⊥CD,
∵平面PCD⊥平面ABCD,
平面PCD∩平面ABCD=CD,
∴PO⊥平面ABCD,
如图,在平面ABCD内,过O作OM⊥CD交AB于M,
以O为原点,OM、OC、OP分别为x、y、z轴,
建立空间直角坐标系O—xyz,
由B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),           …………4分

                                         …………6分
(II)解:取PD的中点E,连接CE、BE,则
为正三角形,

为二面角B—PD—C的平面角. …………9分

二面角B—PD—C的大小为                …………12分

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