如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点。(1)证明PA平面BDE；(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在点F,

题目简介

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点。

(1)证明PA平面BDE；
(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?
证明你的结论。

题型：解答题难度：中档来源：不详

见解析

(1)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，

=(2,0,-2)，

=(0,1,1)，

=(2,2,0)。
设

=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，
则由

，得

；取x=-1，

=(1,-1,1)，
∵

=2-2=0，∴

⊥

，又PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE。
(2) 由(1)知

=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又

=(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。
设二面角B-DE-C的平面角为θ,由图可知θ=<

>，
∴ cosθ=cos<

，
故二面角B-DE-C余弦值为

。
(3)∵

=(2,2,-2)，

=(0,1,1)，∴

=0+2-2=0，∴PB⊥DE。
假设棱PB上存在点F，使PB

平面DEF，设

=λ

(0＜λ＜1)，
则

=(2λ, 2λ,-2λ)，

=(2λ, 2λ,2-2λ)，
由

="0" 得 4λ2 +4λ2-2λ(2-2λ)=0，
∴ λ=

(0,1)，此时PF=

PB，
即在棱PB上存在点F，PF=

PB，使得PB⊥平面DEF。