已知函数f(x)=5sinxcosx-53cos2x+523(其中x∈R),求:(1)函数f(x)的最小正周期;(2)函数f(x)的单调区间;(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.-数学

题目简介

已知函数f(x)=5sinxcosx-53cos2x+523(其中x∈R),求:(1)函数f(x)的最小正周期;(2)函数f(x)的单调区间;(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.-数学

题目详情

已知函数f(x)=5sinxcosx-5
3
cos2x+
5
2
3
(其中x∈R),求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)函数f(x)的单调区间;
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)函数f(x)=5sinxcosx-5
3
cos2x+class="stub"5
2
3
=class="stub"5
2
sin2x
-
5
3
2
(1+cos2x)
+class="stub"5
2
3

=5(class="stub"1
2
 sin2x-
3
2
sin2x
)=5sin(2x-class="stub"π
3
),故此函数的周期为 T=class="stub"2π
2
=π.   
(2)由 2kπ-class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"π
2
,k∈z,可得 kπ-class="stub"π
12
≤x≤kπ+class="stub"5π
12

故增区间为:[kπ-class="stub"π
12
,kπ+class="stub"5π
12
],由2kπ+class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"3π
2
,k∈z,解得kπ+class="stub"5π
12
≤x≤kπ+class="stub"11π
12

故减区间:[kπ+class="stub"5π
12
,kπ+class="stub"11π
12
],其中k∈z.
(3)由2x-class="stub"π
3
=kπ+class="stub"π
2
,k∈z 可得 x=class="stub"kπ
2
+class="stub"5π
12
,故对称轴方程:x=class="stub"kπ
2
+class="stub"5π
12

由 2x-class="stub"π
3
=kπ,k∈z 可得 x=class="stub"kπ
2
+class="stub"π
6
,故对称中心:(class="stub"kπ
2
+class="stub"π
6
,0),其中,k∈z.

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