首页 > 已知O为坐标原点，向量OA=(sinα，1)，OB=(cosα，0)，OC=(-sinα，2)，点P满足AB=BP．（Ⅰ）记函数f(α)=PB•CA，求函数f（α）的最小正周期；（Ⅱ）若O，P，C三点

已知O为坐标原点，向量OA=(sinα，1)，OB=(cosα，0)，OC=(-sinα，2)，点P满足AB=BP．（Ⅰ）记函数f(α)=PB•CA，求函数f（α）的最小正周期；（Ⅱ）若O，P，C三点

题目简介

已知O为坐标原点，向量OA=(sinα，1)，OB=(cosα，0)，OC=(-sinα，2)，点P满足AB=BP．（Ⅰ）记函数f(α)=PB•CA，求函数f（α）的最小正周期；（Ⅱ）若O，P，C三点

题目详情

已知O为坐标原点，向量
OA
=(sinα，1)，
OB
=(cosα，0)，
OC
=(-sinα，2)，点P满足
AB
=
BP
．
（Ⅰ）记函数f(α)=
PB
•
CA
，求函数f（α）的最小正周期；
（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求|
OA
+
OB
|的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵
OA
=(sinα，1)，
OB
=(cosα，0)，
OC
=(-sinα，2)
∴
AB
=(cosα-sinα，-1)，
CA
=(2sinα，-1)
设
OP
=(x，y)，则
BP
=(x-cosα，y)，
由
AB
=
BP
得，
x=2cosα-sinα
y=-1
，
故
OP
=(2cosα-sinα，-1)，则
PB
=(sinα-cosα，1)，
∴f（α）=（sinα-cosα，1）•（2sinα，-1）
=2sin2α-2sinαcosα-1
=-（sin2α+cos2α）
=-
2
sin(2α+class="stub"π
4
)
∴f（α）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）由O，P，C三点共线可得：
OP
∥
0C

则（-1）×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
解得tanα=class="stub"4
3
，
∴sin2α=class="stub"2sinαcosα
sin2α+cos2α
=class="stub"2tanα
1+tan2α
=class="stub"24
25
，
∴|
OA
+
OB
|=
(sinα+cosα)2+1

=
2+sin2α
=
74
5
．

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