首页 > 已知函数f(x)=cosx(3sinx+cosx)-12(x∈R)（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=513，x0∈[π4，π2]，求cos2x

已知函数f(x)=cosx(3sinx+cosx)-12(x∈R)（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=513，x0∈[π4，π2]，求cos2x

题目简介

已知函数f(x)=cosx(3sinx+cosx)-12(x∈R)（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=513，x0∈[π4，π2]，求cos2x

题目详情

已知函数f(x)=cosx(
3
sinx+cosx)-
1
2
 (x∈R)
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
π
2
] 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f(x0)=
5
13
，x0∈[
π
4
，
π
2
]，求cos2x0 的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题知：f(x)=
3
sinxcosx+cos2x-class="stub"1
2
=
3
2
(2sinxcosx)+
2cos2x-1
2
=
3
2
sin2x+class="stub"1
2
cos2x=sin(2x+class="stub"π
6
)，
所以函数f（x） 的最小正周期为π．…（5分）
因为 x∈[0，class="stub"π
2
]，∴2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
6
，class="stub"7π
6
]．…（7分）
故当2x+class="stub"π
6
=class="stub"7π
6
 时，函数f（x）取得最小值为-class="stub"1
2
；当2x+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
时，函数f（x）取得最大值为1，故函数在区间[0，class="stub"π
2
] 上的最大值为1，最小值为-class="stub"1
2
．．…（9分）
（Ⅱ）由（1）可知f(x0)=sin(2x0+class="stub"π
6
)，又因为f(x0)=class="stub"5
13
，
所以sin(2x0+class="stub"π
6
)=class="stub"5
13
，由x0∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]，得 2x0+class="stub"π
6
∈[class="stub"2π
3
，class="stub"7π
6
]，
从而cos(2x0+class="stub"π
6
)=-
1-sin2(2x0+class="stub"π
6
)
=-class="stub"12
13
．…（12分）
所以cos2x0=cos[(2x0+class="stub"π
6
)-class="stub"π
6
]=cos(2x0+class="stub"π
6
)cosclass="stub"π
6
+sin(2x0+class="stub"π
6
)sinclass="stub"π
6
 
=-class="stub"12
13
•
3
2
+class="stub"5
13
•class="stub"1
2
=
5-12
3
26
． …（15分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网