如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O为BC的中点，AO∥面EFD，(Ⅰ)求BD的长；(Ⅱ)求证：面EFD⊥面B

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如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O为BC的中点，AO∥面EFD，
(Ⅰ)求BD的长；
(Ⅱ)求证：面EFD⊥面BCED；
(Ⅲ)求平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值．

题型：解答题难度：中档来源：山东省模拟题

答案

解：（Ⅰ）取ED的中点P，连接PO，PF，
则PO为梯形BCED的中位线，，
又，
所以PO∥AF，所以A，O，P，F四点共面。
因为AO∥面EFD，且面AOPF∩面EFD=PF，
所以AO∥PF，
所以四边形AOPF为平行四边形，PO=AF=2，
所以BD=1。
（Ⅱ）由题意可知平面ABC⊥面BCED；
又AO⊥BC且平面ABC，
所以AO⊥面BCED，
因为AO∥PF，
所以PF⊥面BCED，
又面EFD，
所以面EFD⊥面BCED；
（Ⅲ）以O为原点，OC，OA，OP所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
，
设Q为AC的中点，则，
易证：BQ⊥平面ACEF，平面ACEF的法向量为，
设平面DEF的法向量为，，
由得，所以，
所以，
所以平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为。

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如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O为BC的中点，AO∥面EFD，(Ⅰ)求BD的长；(Ⅱ)求证：面EFD⊥面B

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