如图所示，已知AC⊥平面CDE,BD∥AC,为等边三角形，F为ED边上的中点,且，（Ⅰ）求证：CF∥面ABE；（Ⅱ）求证：面ABE⊥平面BDE；（Ⅲ）求该几何体ABECD的体积。-高三数学

题目简介

如图所示，已知AC ⊥平面CDE, BD ∥AC ,

为等边三角形，F为ED边上的中点,且

，

（Ⅰ）求证：CF∥面ABE；
（Ⅱ）求证：面ABE ⊥平面BDE；
（Ⅲ）求该几何体ABECD的体积。

题型：解答题难度：偏易来源：不详

（1）证明：取BE的中点G，由中位线定理CF∥AG得到CF∥面ABE；
（2）由△ECD为等边三角形得到CF⊥ED，又由CF⊥BD得CF⊥面BDE，所以AG⊥面BDE，从而面ABE ⊥平面BDE ；
（3）

。

试题分析：（1）证明：取BE的中点G，连FG∥

,AC∥

,故CF∥AG

CF∥面ABE (4分)
（2）证明：△ECD为等边三角形

CF⊥ED又CF⊥BD

CF⊥面BDE
CF∥AG
故AG⊥面BDE

面ABE ⊥平面BDE （8分）
（3）几何体ABECD是四棱锥E-ABCD,EH⊥CD

EH⊥面ABCD

（12分）
点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，（1）小题，将立体问题转化成平面问题，这也是解决立体几何问题的一个基本思路。