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（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点.（1）证明：平面；（2）若，，，求二面角的正切值.-高三数学

题目简介

（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点.（1）证明：平面；（2）若，，，求二面角的正切值.-高三数学

题目详情

（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥中，平面，，
，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正切值.
题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

解：（1）证明：∵平面，∴。
∵，是的中点
∴为△中边上的高，
∴。
∵，
∴平面。……………………6分
（2）方法1：延长DA、CB相交于点F，连接PF、DB
过点P作PE⊥BC，垂足为E，连接HE
由（1）知平面，则PH⊥BC
又∵PE∩PH=P，∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角……………9分
在△FDC中，∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝
∵平面，，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD，∵PC＝，∴CD＝4
∵，∴AB＝2，∴BD＝，
∴AB是△FCD的中位线，FD＝CD
∴BD⊥CF
∴HE＝
∵PH＝1，∴……………14分
方法2：由（1）知平面，如图建立空间直角坐标系.

∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝
∵平面，，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD，∵PC＝，∴CD＝4
∴
设平面BCD、平面PBC的法向量分别为
则，设
∵，令，则
，设二面角P－BC－D为，
则，故
本试题主要是考查了线面垂直和二面角的求解的综合运用。
（1）因平面，∴。∵，是的中点
∴为△中边上的高，∴。∵，
∴平面
（2）延长DA、CB相交于点F，连接PF、DB过点P作PE⊥BC，垂足为E，连接HE
由（1）知平面，则PH⊥BC又∵PE∩PH=P，∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角，然后利用解三角形得到结论。

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