首页 > 已知向量m=(2cosx，3cosx-sinx)，n=(sin(x+π6)，sinx)，且满足f(x)=m•n．（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且A

已知向量m=(2cosx，3cosx-sinx)，n=(sin(x+π6)，sinx)，且满足f(x)=m•n．（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且A

题目简介

已知向量m=(2cosx，3cosx-sinx)，n=(sin(x+π6)，sinx)，且满足f(x)=m•n．（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且A

题目详情

已知向量
m
=(2cosx，
3
cosx-sinx)，
n
=(sin(x+
π
6
)，sinx)，且满足f(x)=
m
•
n
．
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且
AB
•
AC
=
3
，求边BC的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）由题意得f(x)=
m
•
n
=2cosxsin(x+class="stub"π
6
)+（
3
cosx-sinx）sinx
=2
3
sinxcosx+cos2x-sin2x=
3
sin2x+cos2x
=2sin(2x+class="stub"π
6
)，
由2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
（k∈Z）得，kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
，
则所求的单调递增区间是[kπ-class="stub"π
3
，kπ+class="stub"π
6
]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（A）=2得，2sin(2x+class="stub"π
6
)=2，即sin(2x+class="stub"π
6
)=1，
∵0＜A＜π，∴class="stub"π
6
＜2A+class="stub"π
6
＜class="stub"13π
6
，即2A+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
，解得A=class="stub"π
6
，
由
AB
•
AC
=
3
得，bccosA=
3
，解得bc=2，
在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-
3
bc≥2bc-
3
bc=(2-
3
)bc，当且仅当b=c时取等号，
∴amin2=(2-
3
)×2=4-2
3
，即a=
4-2
3
=
3
-1．

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