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已知a=ksinθ•e1+（2-cosθ）•e2，b=e1+e2，且a∥b，e1与e2不共线，θ∈（0，π）．（1）求k与θ的关系；（2）求k=f（θ）的最小值．-数学

题目简介

已知a=ksinθ•e1+（2-cosθ）•e2，b=e1+e2，且a∥b，e1与e2不共线，θ∈（0，π）．（1）求k与θ的关系；（2）求k=f（θ）的最小值．-数学

题目详情

已知
a
=ksinθ•
e1
+（2-cosθ）•
e2
，
b
=
e1
+
e2
，且
a
∥
b
，
e1
与
e2
不共线，θ∈（0，π）．
（1）求k与θ的关系；
（2）求k=f（θ）的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
a
 ∥
b
，∴
a
=λ
b
，ksinθ•
e1
+(2-cosθ)•
e2
=λ(
e1
+
e2
)，
∴
ksinθ=λ
2-cosθ=λ
∴k•sinθ=2-cosθ，
k=class="stub"2-cosθ
sinθ
=(θ∈(0，π))．
（2）k=class="stub"2-cosθ
sinθ
=
2-(1-2sin2class="stub"θ
2
) 
2sinclass="stub"θ
2
cosclass="stub"θ
2
=
3sin2class="stub"θ
2
+cos2class="stub"θ
2
 
2sinclass="stub"θ
2
cosclass="stub"θ
2


=
1+3tan2class="stub"θ
2
2tanclass="stub"θ
2
=class="stub"3
2
tanclass="stub"θ
2
+class="stub"1
2tanclass="stub"θ
2
．
又∵θ∈（0，π），∴tanclass="stub"θ
2
＞0．
∴k=class="stub"3
2
tanclass="stub"θ
2
+class="stub"1
2tanclass="stub"θ
2
≥
3

（当且仅当tanclass="stub"θ
2
=
3
3
，即θ=class="stub"π
3
时取等号）

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