首页 > 已知a=(53cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，设函数f(x)=a•b+|b|2+32．（Ⅰ）当x∈[π6，π2]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）当x∈[π6，π2]时，若f（x）=8

已知a=(53cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，设函数f(x)=a•b+|b|2+32．（Ⅰ）当x∈[π6，π2]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）当x∈[π6，π2]时，若f（x）=8

题目简介

已知a=(53cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，设函数f(x)=a•b+|b|2+32．（Ⅰ）当x∈[π6，π2]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）当x∈[π6，π2]时，若f（x）=8

题目详情

已知
a
=(5
3
cosx，cosx)，
b
=(sinx，2cosx)，设函数f(x)=
a
•
b
+|
b
|2+
3
2
．
（Ⅰ）当x∈[
π
6
，
π
2
]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）当x∈[
π
6
，
π
2
]时，若f（x）=8，求函数f(x-
π
12
)的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵
a
•
b
=5
3
sinxcosx+2cos2x，
|b|
2=sin2x+4cos2x
∴f(x)=
a
•
b
+|
b
|2+class="stub"3
2
=5
3
sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x+class="stub"3
2

=
5
3
2
sin2x+3（1+cos2x）+class="stub"1
2
（1-cos2x）+class="stub"3
2

=
5
3
2
sin2x+class="stub"5
2
cos2x+5=5sin（2x+class="stub"π
6
）+5
∵x∈[class="stub"π
6
，class="stub"π
2
]，∴2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
2
，class="stub"7π
6
]
因此，-class="stub"1
2
≤sin（2x+class="stub"π
6
）≤1，可得函数f（x）的值域是[class="stub"5
2
，10]．…（6分）
（Ⅱ）由（I）得5sin（2x+class="stub"π
6
）+5=8，得sin（2x+class="stub"π
6
）=class="stub"3
5

∵x∈[class="stub"π
6
，class="stub"π
2
]，∴2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
2
，class="stub"7π
6
]
∴cos(2x+class="stub"π
6
)=-
1-(class="stub"3
5
)2
=-class="stub"4
5
，…（10分）
∴sin2x=sin[（2x+class="stub"π
6
）-class="stub"π
6
]=class="stub"3
5
•
3
2
-（-class="stub"4
5
）•class="stub"1
2
=
3
3
+4
10

因此，f(x-class="stub"π
12
)=5sin2x+5=
3
3
2
+7．…（12分）

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