首页 > 已知α∈(0，π2)，且cos2α=45．（1）求sinα+cosα的值；（2）若β∈(π2，π)，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．-数学

已知α∈(0，π2)，且cos2α=45．（1）求sinα+cosα的值；（2）若β∈(π2，π)，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．-数学

题目简介

已知α∈(0，π2)，且cos2α=45．（1）求sinα+cosα的值；（2）若β∈(π2，π)，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．-数学

题目详情

已知α∈(0，
π
2
)，且cos2α=
4
5
．
（1）求sinα+cosα的值；
（2）若β∈(
π
2
，π)，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由cos2α=class="stub"4
5
，得1-2sin2α=class="stub"4
5
，
所以sin2α=class="stub"1
10
，又α∈(0，class="stub"π
2
)，
所以sinα=
10
10
．
因为cos2α=1-sin2α，
所以cos2α=1-class="stub"1
10
=class="stub"9
10
，
又α∈(0，class="stub"π
2
)，
所以cosα=
3
10
10
，
所以sinα+cosα=
10
10
+
3
10
10
=
2
10
5
．
（2）因为α∈(0，class="stub"π
2
)，
所以2α∈（0，π），
由已知cos2α=class="stub"4
5
，
所以sin2α=
1-cos22α
=
1-(class="stub"4
5
)2
=class="stub"3
5
，
由5sin（2α+β）=sinβ，得5（sin2αcosβ+cos2αsinβ）=sinβ，
所以5(class="stub"3
5
cosβ+class="stub"4
5
sinβ)=sinβ，即3cosβ=-3sinβ，
所以tanβ=-1，
因为β∈(class="stub"π
2
，π)，
所以β=class="stub"3π
4
．

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