设函数f(x)=sinωx+sin(ωx-π2),x∈R.(1)若ω=12,求f(x)的最大值及相应的x的集合;(2)若x=π8是f(x)的一个零点,且0<ω<10,求ω的值和f(x)的最小正周期.-

题目简介

设函数f(x)=sinωx+sin(ωx-π2),x∈R.(1)若ω=12,求f(x)的最大值及相应的x的集合;(2)若x=π8是f(x)的一个零点,且0<ω<10,求ω的值和f(x)的最小正周期.-

题目详情

设函数f(x)=sinωx+sin(ωx-
π
2
)
,x∈R.
(1)若ω=
1
2
,求f(x)的最大值及相应的x的集合;
(2)若x=
π
8
是f(x)的一个零点,且0<ω<10,求ω的值和f(x)的最小正周期.
题型:解答题难度:中档来源:深圳二模

答案

(1)f(x)=sinωx+sin(ωx-class="stub"π
2
)=sinωx-cosωx,…(1分)
当ω=class="stub"1
2
时,f(x)=sinclass="stub"x
2
-cosclass="stub"x
2
=
2
sin(class="stub"x
2
-class="stub"π
4
),…(2分)
又-1≤sin(class="stub"x
2
-class="stub"π
4
)≤1,∴f(x)的最大值为
2
,…(4分)
class="stub"x
2
-class="stub"π
4
=2kπ+class="stub"π
2
,k∈Z,解得:x=4kπ+class="stub"3π
2
,k∈Z,
则相应的x的集合为{x|x=4kπ+class="stub"3π
2
,k∈Z};…(6分)
(2)∵f(x)=
2
sin(class="stub"x
2
-class="stub"π
4
),且x=class="stub"π
8
是f(x)的一个零点,
∴f(class="stub"π
8
)=sin(class="stub"ωπ
8
-class="stub"π
4
)=0,…(8分)
class="stub"ωπ
8
-class="stub"π
4
=kπ,k∈Z,整理得:ω=8k+2,
又0<ω<10,∴0<8k+2<10,
解得:-class="stub"1
4
<k<1,
又k∈Z,∴k=0,ω=2,…(10分)
∴f(x)=
2
sin(2x-class="stub"π
4
),
则f(x)的最小正周期为π.…(12分)

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