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> 已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x:(1)求函数f(x)的周期、值域和单调递增区间;(2)当x∈[π2,π]时,求函数f(x)的最值.-数学
已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x:(1)求函数f(x)的周期、值域和单调递增区间;(2)当x∈[π2,π]时,求函数f(x)的最值.-数学
题目简介
已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x:(1)求函数f(x)的周期、值域和单调递增区间;(2)当x∈[π2,π]时,求函数f(x)的最值.-数学
题目详情
已知函数
f(x)=
3
sinxcosx+co
s
2
x
:
(1)求函数f(x)的周期、值域和单调递增区间;
(2)当
x∈[
π
2
,π]
时,求函数f(x)的最值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)
f(x)=
3
sinxcosx+co
s
2
x
=
3
2
sin2x+
class="stub"1
2
cos2x+
class="stub"1
2
=sin(2x+
class="stub"π
6
)+
class="stub"1
2
∴函数的最小正周期T=
class="stub"2π
2
=π,
-1≤sin(2x+
class="stub"π
6
)≤1,故函数的值域为[-
class="stub"1
2
,
class="stub"3
2
]
当2kπ-
class="stub"π
2
≤2x+
class="stub"π
6
≤2kπ+
class="stub"π
2
,即kπ-
class="stub"2π
3
≤x≤kπ+
class="stub"π
6
,函数单调增,
故函数的单调增区间为[kπ-
class="stub"2π
3
,kπ+
class="stub"π
6
](k∈Z)
(2)∵
x∈[
class="stub"π
2
,π]
∴2x+
class="stub"π
6
∈[
class="stub"7π
6
,
class="stub"13π
6
]
∴当2x+
class="stub"π
6
=
class="stub"3π
2
时函数的最小值为-
class="stub"1
2
,
当2x+
class="stub"π
6
=
class="stub"13π
6
时函数的最大值为
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
=1
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∴函数的最小正周期T=
-1≤sin(2x+
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(2)∵x∈[
∴2x+
∴当2x+
当2x+