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已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x：（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；（2）当x∈[π2，π]时，求函数f（x）的最值．-数学

题目简介

已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x：（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；（2）当x∈[π2，π]时，求函数f（x）的最值．-数学

题目详情

已知函数f(x)=
3
sinxcosx+cos2x：
（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；
（2）当x∈[
π
2
，π]时，求函数f（x）的最值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f(x)=
3
sinxcosx+cos2x=
3
2
sin2x+class="stub"1
2
cos2x+class="stub"1
2
=sin（2x+class="stub"π
6
）+class="stub"1
2

∴函数的最小正周期T=class="stub"2π
2
=π，
-1≤sin（2x+class="stub"π
6
）≤1，故函数的值域为[-class="stub"1
2
，class="stub"3
2
]
当2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
，即kπ-class="stub"2π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
，函数单调增，
故函数的单调增区间为[kπ-class="stub"2π
3
，kπ+class="stub"π
6
]（k∈Z）
（2）∵x∈[class="stub"π
2
，π]
∴2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"7π
6
，class="stub"13π
6
]
∴当2x+class="stub"π
6
=class="stub"3π
2
时函数的最小值为-class="stub"1
2
，
当2x+class="stub"π
6
=class="stub"13π
6
时函数的最大值为class="stub"1
2
+class="stub"1
2
=1

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