首页 > 阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12

阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12

题目简介

阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12

题目详情

阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：
1
2
AB•r1+
1
2
AC•r2=
1
2
AB•h，∴r1+r2=h
（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：r1+r2+r3=
3
．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于______；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
∴AD=
3

∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC．
∴class="stub"1
2
AB•r1+class="stub"1
2
BC•r2+class="stub"1
2
AC•r3=class="stub"1
2
BC×AD，
∵BC=AC=AB，
∴r1+r2+r3=AD．
∴r1+r2+r3=
3


（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=2．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，
∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，
∴PE=AH，PF=BE，PG=HD，PH=AE，
∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4．
故答案为4．

（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，
∴S正n边形=class="stub"1
2
×2n×r．r=class="stub"1
tanclass="stub"180
n
，
∵S正n边形=class="stub"1
2
×2×r1+class="stub"1
2
×2×r2+class="stub"1
2
×2×r1+…+class="stub"1
2
×2×rn，
∴class="stub"1
2
×2×r1+class="stub"1
2
×2×r2+class="stub"1
2
×2×r1+…+class="stub"1
2
×2×rn=class="stub"2r
2
×n，
∴r1+r2+…+rn=nr=class="stub"n
tanclass="stub"180
n
（为定值）．

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