首页 > 设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，f(x+y2)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．（Ⅰ）求f(12)，f(14)；（Ⅱ）求α的

设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，f(x+y2)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．（Ⅰ）求f(12)，f(14)；（Ⅱ）求α的

题目简介

设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，f(x+y2)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．（Ⅰ）求f(12)，f(14)；（Ⅱ）求α的

题目详情

设α∈(0，
π
2
)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，f(
x+y
2
)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．
（Ⅰ）求f(
1
2
)，f(
1
4
)；
（Ⅱ）求α的值；
（Ⅲ）求g(x)=
3
sin(α-2x)+cos(α-2x)的单调增区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）令x=1，y=0，f(class="stub"1
2
)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα
令x=class="stub"1
2
，y=0，f(class="stub"1
4
)=f(class="stub"1
2
)sinα=sin2α．
（Ⅱ）令x=1，y=class="stub"1
2
，f(class="stub"3
4
)=f(1)sinα+(1-sinα)f(class="stub"1
2
)
=sinα+（1-sinα）sinα
=-sin2α+2sinα．
令x=class="stub"3
4
，y=class="stub"1
4
，f(class="stub"1
2
)=f(class="stub"3
4
)sinα+(1-sinα)f(class="stub"1
4
)=-2sin3α+3sin2α
∴-2sin3α+3sin2α=sinα
∴sinα=class="stub"1
2

∵α∈(0，class="stub"π
2
)
∴α=class="stub"π
6
；
（Ⅲ）g(x)=
3
sin(class="stub"π
6
-2x)+cos(class="stub"π
6
-2x)
=2sin(class="stub"π
6
-2x+class="stub"π
6
)=2sin(class="stub"π
3
-2x)=2sin(2x+class="stub"2π
3
)
要使g（x）单调增区间，
则2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"2π
3
≤2kπ+class="stub"π
2
k∈z
∴单调增区间是：[kπ-class="stub"7π
12
，kπ-class="stub"π
12
](k∈z)．

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