已知：⊙O与⊙O1外切于C，P是⊙O上任一点，PT与⊙O1相切于点T．求证：PC：PT是定值．-数学

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已知：⊙O与⊙O₁外切于C，P是⊙O上任一点，PT与⊙O₁相切于点T．求证：PC：PT是定值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

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证明：如图所示，⊙O1，⊙O，两圆半径分别为R、r．
延长PC与圆交于E点，连接O1E，PO，OO1，
∵OP=OC，O1C=O1E，
∴∠OCP=∠OPC，∠O1CE=∠O1EC．
又∵∠OCP与∠O1CE是对顶角，
∴∠OCP=∠O1CE，
∴∠OCP=∠OPC=∠O1CE=∠O1EC，
∴△OCP∽△O1CE，
∴class="stub"PO

EO1

=class="stub"PC

=class="stub"r

，即CE=class="stub"R

PC．
∵PT与⊙O1相切于点T，
∴PT2=PC?PE=PC?（PC+CE）=PC?（PC+class="stub"R

PC），
即PT2=PC2（1+class="stub"R

），
∴PC：PT=

class="stub"r

R+r

．为定值．

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