首页 > 设0＜α＜π＜β＜2π，向量a=(1，-2)，b=(2cosα，sinα)，c=(sinβ，2cosβ)，d=(cosβ，-2sinβ)．（1）若a⊥b，求α；（2）若|c+d|=3，求sinβ+co

设0＜α＜π＜β＜2π，向量a=(1，-2)，b=(2cosα，sinα)，c=(sinβ，2cosβ)，d=(cosβ，-2sinβ)．（1）若a⊥b，求α；（2）若|c+d|=3，求sinβ+co

题目简介

设0＜α＜π＜β＜2π，向量a=(1，-2)，b=(2cosα，sinα)，c=(sinβ，2cosβ)，d=(cosβ，-2sinβ)．（1）若a⊥b，求α；（2）若|c+d|=3，求sinβ+co

题目详情

设0＜α＜π＜β＜2π，向量
a
=(1，-2)，
b
=(2cosα，sinα)，
c
=(sinβ，2cosβ)，
d
=(cosβ，-2sinβ)．
（1）若
a
⊥
b
，求α；
（2）若|
c
+
d
|=
3
，求sinβ+cosβ的值；
（3）若tanαtanβ=4，求证：
b
∥
c
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）若
a
⊥
b
，则
a
•
b
=2cosα-2sinα=0，∴tanα=1．再由0＜α＜π＜β＜2π，可得α=class="stub"π
4
．
（2）由题意可得
c
+
d
=（sinβ+cosβ，2cosβ-2sinβ），
∴|
c
+
d
|=
(sinβ+cosβ)2+(2cosβ-2sinβ)2
=
5-6sinβcosβ
=
3
，∴sinβcosβ=class="stub"1
3
．
结合0＜α＜π＜β＜2π，可得β为第三象限角，故 sinβ+cosβ＜0．
∴sinβ+cosβ=-
(sinβ+cosβ)2
=-
1+2sinβcosβ
=-
15
3
．
（3）若tanαtanβ=4，则有 class="stub"sinα
cosα
•class="stub"sinβ
cosβ
=4，∴sinαsinβ=4cosαcosβ，∴class="stub"2cosα
sinβ
=class="stub"sinα
2cosβ
，
故
b
与
c
的坐标对应成比例，故
b
∥
c
．

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