首页 > 已知点A、B、C、D的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），α∈（π2，3π2）．（1）若|AC|=|BC|，求角α的值；（2）若AC•BC=-1，

已知点A、B、C、D的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），α∈（π2，3π2）．（1）若|AC|=|BC|，求角α的值；（2）若AC•BC=-1，

题目简介

已知点A、B、C、D的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），α∈（π2，3π2）．（1）若|AC|=|BC|，求角α的值；（2）若AC•BC=-1，

题目详情

已知点A、B、C、D的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），α∈（
π
2
，
3π
2
）．
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（2）若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
的值．
（3）若f(α)=
OC
•
OD
-t2+2在定义域α∈（
π
2
，
3π
2
）有最小值-1，求t的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
AC
=（cosα-3，sinα），
BC
=（cosα，sinα-3），
∴|
AC
|=
(cosα-3)2+sin2α
=
10-6cosα
，
|
BC
|=
(sinα-3)2+cos2α
=
10-6sinα
…（2分）
由|
AC
|=|
BC
|得sinα=cosα，
又α∈（class="stub"π
2
，class="stub"3π
2
），
∴α=class="stub"5π
4
…（5分）
（2）由
AC
•
BC
=-1得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．
∴sinα+cosα=class="stub"2
3
，①（6分）
又
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
=
2sinα(sinα+cosα)
1+class="stub"sinα
cosα
=2sinαcosα．（7分）
由①式两边平方得1+2sinαcosα=class="stub"4
9
，
∴2sinαcosα=-class="stub"5
9
．（8分）
∴
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
=-class="stub"5
9
．（9分）
（3）依题意记y=f（α）=-2cos2α-tsinα-t2+2
=-2（1-sin2α）-tsinα-t2+2
=2sin2α-tsinα-t2（10分）
令x=sinα，∵α∈（class="stub"π
2
，class="stub"3π
2
），
∴sinα∈（-1，1），
∴y=2x2-tx-t2，x∈（-1，1）（11分）
其对称轴为x=class="stub"t
4
，
∵y=2x2-tx-t2在x∈（-1，1）上存在最小值，
∴对称轴x=class="stub"t
4
∈（-1，1），
∴t∈（-4，4）（12分）
当且仅当x=class="stub"t
4
时，y=2x2-tx-t2取最小值，为ymin=2×
t2
16
-t•class="stub"t
4
-t2=-class="stub"9
8
t2=-1，
∴t=±
2
2
3
（14分）

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