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> 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0.(Ⅰ)求角B的值;(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面积S的最大值.-数学
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0.(Ⅰ)求角B的值;(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面积S的最大值.-数学
题目简介
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0.(Ⅰ)求角B的值;(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面积S的最大值.-数学
题目详情
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0.
(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面积S的最大值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
解 (Ⅰ)由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
得2sinAcosB+sin(C+B)=0,
因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,得2sinAcosB+sinA=0,因为sinA≠0,
所以cosB=-
class="stub"1
2
,又B为三角形的内角,所以B=
class="stub"2π
3
.
(Ⅱ)因为S=
class="stub"1
2
acsinB
,由B=
class="stub"2π
3
及a+c=4得S=
class="stub"1
2
a(4-a)sin
class="stub"2π
3
=
3
4
(4a-a
2
)
=
3
4
[4-
(a-2)
2
]
,
又0<a<4,所以当a=2时,S取最大值
3
…(3分)
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(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面积S的最大值.
答案
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
得2sinAcosB+sin(C+B)=0,
因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,得2sinAcosB+sinA=0,因为sinA≠0,
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