在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA-3cosCcosB=3c-ab.(Ⅰ)求sinCsinA的值;(Ⅱ)若B为钝角,b=10,求a的取值范围.-数学

题目简介

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA-3cosCcosB=3c-ab.(Ⅰ)求sinCsinA的值;(Ⅱ)若B为钝角,b=10,求a的取值范围.-数学

题目详情

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
cosA-3cosC
cosB
=
3c-a
b

(Ⅰ)求
sinC
sinA
的值;
(Ⅱ)若B为钝角,b=10,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(本小题满分14分)
(I)由正弦定理,设class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
=k

class="stub"3c-a
b
=class="stub"3ksinC-ksinA
ksinB
=class="stub"3sinC-sinA
sinB

所以class="stub"cosA-3cosC
cosB
=class="stub"3sinC-sinA
sinB
.…(4分)
即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB,
化简可得sin(A+B)=3sin(B+C).…(6分)
又A+B+C=π,
所以sinC=3sinA
因此class="stub"sinC
sinA
=3
.…(8分)
(II)由class="stub"sinC
sinA
=3
得c=3a.…(9分)
由题意
a+c>b
a2+c2b2
,…(12分)
class="stub"5
2
<a<
10
…(14分)

更多内容推荐