(本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,E、F分别为AB、PC的中点。(1)求异面直线PA与BF所成角的正切值。(2)求证:EF⊥

题目简介

(本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,E、F分别为AB、PC的中点。(1)求异面直线PA与BF所成角的正切值。(2)求证:EF⊥

题目详情

(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,E、F分别为AB、PC的中点。 
(1)求异面直线PA与BF所成角的正切值。
(2)求证:EF⊥平面PCD。
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解:(1)如图,连结AC
过点F作FO⊥AC,
∴面PAC⊥面ABCD
∵PA⊥平面ABCD,
∴平面PAC⊥AC,垂足为O,
连结BO,则FO⊥平面ABCD,且FO//PA。
∴∠BFO为异面直线PA与BF所成的角………………4分
在Rt△BOF中,OFPA=1,
OB=,则tanBFO=………………6分
(2)连结OE、CE、PE。
∵E是AB的中点,
∴OE⊥AB
又FO⊥平面ABCD,
∴EF⊥AB。
∵AB//CD
∴EF⊥CD
在Rt△PAE和Rt△CBE中,PA=CB,AE=BE,
∴Rt△PAE≌Rt△CBE,
∴PE=CE…………………………10分
∴又F为PC的中点,
∴EF⊥PC。
故EF⊥平面PCD。……………………12分

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