首页 > 如图甲，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．（1）连接BC，CD，请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形？试说明理由；（2）若用扇形OBD围成一个圆锥侧面，请出

如图甲，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．（1）连接BC，CD，请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形？试说明理由；（2）若用扇形OBD围成一个圆锥侧面，请出

题目简介

如图甲，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．（1）连接BC，CD，请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形？试说明理由；（2）若用扇形OBD围成一个圆锥侧面，请出

题目详情

如图甲，已知在⊙O中，AB=4
3
，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．
（1）连接BC，CD，请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形？试说明理由；
（2）若用扇形OBD围成一个圆锥侧面，请出这个圆锥的底面圆的半径；
（3）如图乙，若将“∠A=30°”改为“∠A=22.5°”，其余条件不变，以半径OB、OD的中点M、N为顶点作矩形MNGH，顶点G、H在⊙O的劣弧
BD
上，GH交OC于点E．试求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）四边形OBCD是菱形．
如图丙，∵AC⊥BD，AC是直径，
∴AC垂直平分BD．
∴BF=FD，
BC
=
CD
．
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120°．
∵BF=class="stub"1
2
AB=2
3
，
在Rt△ABF中，
AF=
AB2-BF2
=
(4
3
)2-(2
3
)2
=
36
=6．
在Rt△BOF中，
∴OB2=BF2+OF2．即(2
3
)2+(6-OB)2=OB2．
解得：OB=4．
∵OA=OB=4，
∴OF=AF-AO=6-4=2，
∵AC=2OA=8，
∴CF=AC-AF=8-6=2，
∴CF=OF，
∵BF=FD，AC⊥BD，
∴四边形OBCD是菱形；

（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr．
∵扇形OBD的弧长=class="stub"120
180
π•4=class="stub"8
3
π，
∴2πr=class="stub"8
3
π，
解得：r=class="stub"4
3
；

（3）如图丁，连接OH．
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∵∠BOD=∠BOC=90°，OB=OD=4，
∴BD=
2
OB=4
2
，
∴OF=class="stub"1
2
BD=2
2
，
∵M、N是OB、OD的中点，
∴MN=class="stub"1
2
BD=class="stub"1
2
×4
2
=2
2
，
∵四边形MNGH是矩形，
∴MN=GH=2
2
，EH=EG=class="stub"1
2
MN=
2
，
在Rt△HOE中，OE2=OH2-HE2，即OE2=42-（
2
）2，
解得：OE=
14
，
∴EF=OE-OF=
14
-2
2
，
∵扇形OBD的面积=class="stub"1
2
lR=class="stub"1
2
×class="stub"8
3
π×4=class="stub"16
3
π，
∴图中阴影部分的面积=class="stub"16
3
π-class="stub"1
2
×4×4-（
14
-2
2
）×2
2
=class="stub"16
3
π-8-4
7
+8
=class="stub"16
3
π-4
7
．

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