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> 定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-f2(x)+12,f(1)=1,已知an=f2(n)-f(n),则数列{an}的前40项和______.-数学
定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-f2(x)+12,f(1)=1,已知an=f2(n)-f(n),则数列{an}的前40项和______.-数学
题目简介
定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-f2(x)+12,f(1)=1,已知an=f2(n)-f(n),则数列{an}的前40项和______.-数学
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定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=
f(x)-
f
2
(x)
+
1
2
,f(1)=1,已知a
n
=f
2
(n)-f(n),则数列{a
n
}的前40项和______.
题型:填空题
难度:中档
来源:不详
答案
∵f(x+1)=
f(x)-
f
2
(x)
+
class="stub"1
2
,
∴f(x+1)-
class="stub"1
2
=
f(x)-
f
2
(x)
,
两边平方,得[f(x+1)-
class="stub"1
2
]2=f(x)-f2(x)
化简得[f2(x+1)-f(x+1)]-[f2(x)-f(x)]=-
class="stub"1
4
∵an=f2(n)-f(n),可得an+1=f2(n+1)-f(n+1),
∴an+1-an=[f2(n+1)-f(n+1)]-[f2(n)-f(n)]=-
class="stub"1
4
,
可得{an}构成公差d=-
class="stub"1
4
的等差数列
∵f(1)=1,得a1=f2(1)-f(1)=0
∴{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=
class="stub"1
4
(1-n)
因此,数列{an}的前40项和为S40=
40(
a
1
+
a
40
)
2
=20×(-
class="stub"39
4
)=-195
故答案为:-195
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