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> 已知有两个数列{an},{bn},它们的前n项和分别记为Sn,Tn,且数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sm=26,前m项中数值最大的项的值为18,S2m=728,又Tn=2n2(I)求数列{an
已知有两个数列{an},{bn},它们的前n项和分别记为Sn,Tn,且数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sm=26,前m项中数值最大的项的值为18,S2m=728,又Tn=2n2(I)求数列{an
题目简介
已知有两个数列{an},{bn},它们的前n项和分别记为Sn,Tn,且数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sm=26,前m项中数值最大的项的值为18,S2m=728,又Tn=2n2(I)求数列{an
题目详情
已知有两个数列{a
n
},{b
n
},它们的前n项和分别记为S
n
,T
n
,且数列{a
n
}是各项均为正数的等比数列,S
m
=26,前m项中数值最大的项的值为18,S
2m
=728,又
T
n
=2
n
2
(I)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式.
(II)若数列{c
n
}满足c
n
=b
n
a
n
,求数列{c
n
}的前n项和P
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:河东区二模
答案
(本小题满分14分)
(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,∵an>0,∴q>0
若q=1时 Sm=ma1S2m=2ma1,此时2Sm=S2m,而已知 Sm=26,S2m=728,∴2Sm≠S2m,∴q=1不成立…(1分)
若q≠1,由
S
m
=26
S
m
=728
得
a
1
(1-
q
m
)
1-q
=26(1)
a
1
(1-
q
2m
)
1-q
=728(2)
…(2分)
(1)÷(2)得:1+qm=28∴qm=27…(3分)
∵qm=27>1∴q>1
∴前m项中am最大∴am=18…(4分)
由
a
1
q
m-1
=18
得,
a
1
q
m-1
q
m
=
class="stub"18
27
∴
a
1
q
=
class="stub"2
3
(3)
即
a
1
=
class="stub"2
3
q
把
a
1
=
class="stub"2
3
q
及qm=27代入(1)式得
class="stub"2
3
q(1-27)
1-q
=26
解得q=3
把q=3代入
a
1
=
class="stub"2
3
q
得a1=2,所以
a
n
=2×
3
n-1
…(7分)
由
T
n
=2
n
2
(1)当n=1时 b1=T1=2
(2)当 n≥2时
b
n
=
T
n
-
T
n-1
=2
n
2
-2(n-1
)
2
=2
n
2
-2(
n
2
-2n+1)
=4n-2
∵b1=2适合上式∴bn=4n-2…(9分)
(Ⅱ)由(1)得
c
n
=(4n-2)•2×
3
n-1
=4(2n-1)×
3
n-1
记
d
n
=(2n-1)×
3
n-1
,dn的前n项和为Qn,显然Pn=4Qn
Q
n
=
d
1
+
d
2
+
d
3
+…+
d
n
=1×
3
0
+3×
3
1
+5×
3
2
+…+(2n-1)×
3
n-1
…①∴
3
Q
n
=
d
1
+
d
2
+
d
3
+…+
d
n
=1×
3
1
+3×
3
2
+5×
3
3
+…+(2n-1)×
3
n
…..②
…(11分)
①-②得:-2Qn=1+2×31+2×32+2×33+…2×3n-1-(2n-1)×3n
=
1+2×
3(1-
3
n-1
)
1-3
-(2n-1)×
3
n
=-2-(2n-2)×3n…(13分)
∴
4
Q
n
=4(n-1)×
3
n
+4
,
即
P
n
=4(n-1)×
3
n
+4
…(14分)
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∴前m项中am最大∴am=18…(4分)
由 a1qm-1=18得,
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解得q=3
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(1)当n=1时 b1=T1=2
(2)当 n≥2时 bn=Tn-Tn-1=2n2-2(n-1)2=2n2-2(n2-2n+1)=4n-2
∵b1=2适合上式∴bn=4n-2…(9分)
(Ⅱ)由(1)得 cn=(4n-2)•2×3n-1=4(2n-1)×3n-1
记dn=(2n-1)×3n-1,dn的前n项和为Qn,显然Pn=4QnQn=d1+d2+d3+…+dn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1…①∴3Qn=d1+d2+d3+…+dn=1×31+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n…..②
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=1+2×
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即Pn=4(n-1)×3n+4…(14分)