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> 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*),数列{bn}满足b1=1,且点P(bn,bn+1)(n∈N*)在直线y=x+2上.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*),数列{bn}满足b1=1,且点P(bn,bn+1)(n∈N*)在直线y=x+2上.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数
题目简介
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*),数列{bn}满足b1=1,且点P(bn,bn+1)(n∈N*)在直线y=x+2上.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
=2a
n
-2(n∈N
*
),数列{b
n
}满足b
1
=1,且点P(b
n
,b
n+1
)(n∈N
*
)在直线y=x+2上.
(Ⅰ)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a
n
•b
n
}的前n项和D
n
;
(Ⅲ)设c
n
=a
n
•sin
2
nπ
2
-
b
n
•co
s
2
nπ
2
(n∈
N
*
)
,求数列{c
n
}的前2n项和T
2n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:天津模拟
答案
(Ⅰ)当n=1,a1=2…(1分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1…(2分)
∴an=2an-1(n≥2),∴{an}是等比数列,公比为2,首项a1=2
∴
a
n
=
2
n
…(3分)
又点
P(
b
n
,
b
n+1
) (n∈
N
*
)
在直线y=x+2上,∴bn+1=bn+2,
∴{bn}是等差数列,公差为2,首项b1=1,∴bn=2n-1…(5分)
(Ⅱ)∵
a
n
•
b
n
=(2n-1)×
2
n
∴
D
n
=1×
2
1
+3×
2
2
+5×
2
3
+7×
2
4
+…(2n-3)×
2
n-1
+(2n-1)×
2
n
①
2
D
n
=1×
2
2
+3×
2
3
+5×
2
4
+7×
2
5
+…(2n-3)×
2
n
+(2n-1)×
2
n+1
②
①-②得
-
D
n
=1×
2
1
+2×
2
2
+2×
2
3
+2×
2
4
+…2×
2
n
-(2n-1)×
2
n+1
…(7分)
=
2+2×
4(1-
2
n-1
)
1-2
-(2n-1)×
2
n+1
=
2
n+1
(3-2n)-6
…(8分)
D
n
=(2n-3)
2
n+1
+6
…(9分)
(Ⅲ)
c
n
=
2
n
,n为奇数
-(2n-1),n为偶数
…(11分)
T2n=(a1+a3+…+a2n-1)-(b2+b4+…b2n)
=
2+
2
3
+…+
2
2n-1
-[3+7+…+(4n-1)]=
2
2n+1
-2
3
-2
n
2
-n
…(13分)
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正项数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=1an•an+1,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<12.-数学
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已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,数列{bn}满足b1+3b2+32b3+…+3n-1bn=an,n∈N*.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Tn.-数
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*),数列{bn}满足b1=1,且点P(bn,bn+1)(n∈N*)在直线y=x+2上.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数
题目详情
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Dn;
(Ⅲ)设cn=an•sin2
答案
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1…(2分)
∴an=2an-1(n≥2),∴{an}是等比数列,公比为2,首项a1=2
∴an=2n…(3分)
又点P(bn,bn+1) (n∈N*)在直线y=x+2上,∴bn+1=bn+2,
∴{bn}是等差数列,公差为2,首项b1=1,∴bn=2n-1…(5分)
(Ⅱ)∵an•bn=(2n-1)×2n
∴Dn=1×21+3×22+5×23+7×24+…(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n①
2Dn=1×22+3×23+5×24+7×25+…(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1②
①-②得-Dn=1×21+2×22+2×23+2×24+…2×2n-(2n-1)×2n+1…(7分)
=2+2×
Dn=(2n-3)2n+1+6…(9分)
(Ⅲ)cn=
T2n=(a1+a3+…+a2n-1)-(b2+b4+…b2n)
=2+23+…+22n-1-[3+7+…+(4n-1)]=