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> 已知等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,令bn=an•an+1,数列{1bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:Tn<13;(3)是否存在正整数m,n,且
已知等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,令bn=an•an+1,数列{1bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:Tn<13;(3)是否存在正整数m,n,且
题目简介
已知等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,令bn=an•an+1,数列{1bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:Tn<13;(3)是否存在正整数m,n,且
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已知等差数列{a
n
} 中,a
3
=7,a
1
+a
2
+a
3
=12,令b
n
=a
n
•a
n+1
,数列{
1
b
n
}的前n项和为T
n
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求证:T
n
<
1
3
;
(3)是否存在正整数m,n,且1<m<n,使得T
1
,T
m
,T
n
成等比数列?若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)设数列{an}的公差为d,由
a
3
=
a
1
+2d=7
a
1
+
a
2
+
a
3
=3
a
1
+3d=12
解得
a
1
=1
d=3
.∴an=1+(n-1)×3=3n-2.
(2)∵an=3n-2,an+1=3n+1,∴bn=an•an+1=(3n-2)(3n+1),
∴
class="stub"1
b
n
=
class="stub"1
(3n-2)(3n+1)
=
class="stub"1
3
(
class="stub"1
3n-2
-
class="stub"1
3n+1
)
.
∴
T
n
=
class="stub"1
3
(1-
class="stub"1
3n+1
)<
class="stub"1
3
.
(3)由(2)知,
T
n
=
class="stub"n
3n+1
,∴
T
1
=
class="stub"1
4
,
T
m
=
class="stub"m
3m+1
,
∵T1,Tm,Tn成等比数列,∴
(
class="stub"m
3m+1
)
2
=
class="stub"1
4
•
class="stub"n
3n+1
,即
class="stub"6m+1
m
2
=
class="stub"3n+4
n
.
当m=2时,
class="stub"13
4
=
class="stub"3n+4
n
,n=16,符合题意;
当m=3时,
class="stub"19
9
=
class="stub"3n+4
n
,n无正整数解;
当m=4时,
class="stub"25
16
=
class="stub"3n+4
n
,n无正整数解;
当m=5时,
class="stub"31
25
=
class="stub"3n+4
n
,n无正整数解;
当m=6时,
class="stub"37
36
=
class="stub"3n+4
n
,n无正整数解;
当m≥7时,m2-6m-1=(m-3)2-10>0,则
class="stub"6m+1
m
2
<1
,而
class="stub"3n+4
n
=3+
class="stub"4
n
>3
,
所以,此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列.
综上,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列.
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已知:数列{an}是等差数列,{bn}是
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