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（本小题满分14分）如图,在矩形中,,分别为线段的中点,⊥平面.(1)求证:∥平面；(2)求证:平面⊥平面；(3)若,求三棱锥的体积.-高三数学

题目简介

（本小题满分14分）如图,在矩形中,,分别为线段的中点,⊥平面.(1)求证:∥平面；(2)求证:平面⊥平面；(3)若,求三棱锥的体积.-高三数学

题目详情

（本小题满分14分）如图, 在矩形

中,

,

分别为线段

的中点,

⊥平面

.
(1) 求证:

∥平面

；
(2) 求证:平面

⊥平面

；
(3) 若

, 求三棱锥

的
体积.

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明:⑴ 在矩形ABCD中,

∵AP＝PB, DQ＝QC,
∴AP

CQ.
∴AQCP为平行四边形.-------------2分
∴CP∥AQ.
∵CP

平面CEP,
AQ

平面CEP,
∴AQ∥平面CEP. ----------------4分
⑵ ∵EP⊥平面ABCD,
AQ

平面ABCD,
∴AQ⊥EP. ----------------------6分
∵AB＝2BC, P为AB中点, ∴AP＝AD. 连PQ, ADQP为正方形.
∴AQ⊥DP.-----------------------------------------8分
又EP∩DP＝P, ∴AQ⊥平面DEP.
∵AQ

平面AEQ. ∴平面AEQ⊥平面DEP. -----------------------10分
⑶解：∵

⊥平面

∴EP为三棱锥

的高
所以

-----------------------------14分

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