首页 > 已知复数z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi（其中x，k∈R），记z1z2的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，（1）求k的值；（2）求函数y=f（log2x）在x∈（0，a]

已知复数z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi（其中x，k∈R），记z1z2的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，（1）求k的值；（2）求函数y=f（log2x）在x∈（0，a]

题目简介

已知复数z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi（其中x，k∈R），记z1z2的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，（1）求k的值；（2）求函数y=f（log2x）在x∈（0，a]

题目详情

已知复数z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi（其中x，k∈R），记z1z2的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log2x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
（3）求证：对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线y=
1
2
x+m的图象最多只有一个交点．
题型：解答题难度：中档来源：上海模拟

答案

（1）z1z2=（log2（2x+1）+ki）（1-xi）；所以f（x）=log2（2x+1）+kx，
因为函数f（x）是关于x的偶函数所以f（-x）=log2（2-x+1）-kx=log2（2x+1）+kx=f（x），所以2kx=-x，所以k=-class="stub"1
2

（2）由（1）可知f（x）=log2（2x+1）-class="stub"1
2
x，
所以y=f（log2x）=log2（x+1）-class="stub"1
2
log2x=log2class="stub"x+1
x
=
log(
x
+class="stub"1
x
)2
，
所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R，ymin=
log2(
a
+class="stub"1
a
)(0＜a≤1)
1(a＞1)

（3）函数y=f（x）图象与直线y=class="stub"1
2
x+m的图象最多只有一个交点，
就是log2（2x+1）-class="stub"1
2
x=class="stub"1
2
x+m最多只有一个解，就是log2（2x+1）=x+m最多只有一个解，
因为函数log2（2x+1）是单调增函数，x+m也是单调增函数，
所以对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线y=class="stub"1
2
x+m的图象最多只有一个交点．

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