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若非零函数对任意实数均有，且当时（1）求证：；（2）求证：为R上的减函数；（3）当时，对恒有，求实数的取值范围.-高一数学

题目简介

若非零函数对任意实数均有，且当时（1）求证：；（2）求证：为R上的减函数；（3）当时，对恒有，求实数的取值范围.-高一数学

题目详情

若非零函数

对任意实数

均有

，且当

时

（1）求证：

；
（2）求证：

为R上的减函数；
（3）当

时，对

恒有

，求实数

的取值范围.

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证法一：

即

又

当

时，

则

故对于

恒有

证法二：

为非零函数

（2）证明：令

且

有

，又

即

故

又

故

为R上的减函数
（3）实数

的取值范围为

试题分析：（1）由题意可取

代入等式

，得出关于

的方程，因为

为非零函数，故

，再令

代入等式，可证

，从而证明当

时，有

；（2）着眼于减函数的定义，利用条件当

时，有

，根据等式

，令

，

，可得

，从而可证该函数为减函数.（3）根据

，由条件

可求得

，将

替换不等式中的

，再根据函数的单调性可得

，结合

的范围，从而得解.
试题解析：（1）证法一：

即

又

当

时，

则

故对于

恒有

4分
证法二：

为非零函数

（2）令

且

有

，又

即

故

又

故

为R上的减函数 8分
（3）

故

， 10分
则原不等式可变形为

依题意有

对

恒成立

或

或

故实数

的取值范围为

14分

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