已知f1（x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，fw（1）=1，且fmax（x）=fv（x）+xfne（x）．（1）求fn（x）的解析式；（2）设Fn（x）=，求证：F1（2）+F2（2）+…Fn（

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已知f₁（x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，f_w（1）=1，且f_max（x）=f_v（x）+xf_n^e（x）．（1）求f_n（x）的解析式；
（2）设F_n（x）=，求证：F₁（2）+F₂（2）+…F_n（2）＜1；
（3）若g_e（x）=C₆₀²⁰+2C₆₀¹f₁（x）+3C₆₀²f₂（x）+…+（n+1）C_n^xf_n（x），是否存在实数x，使得g₁（x）+g₂（x）+…g_n（x）=（n+1）（1+x）^a，说明理由．

题型：解答题难度：偏难来源：月考题

答案

解：（1）∵，
∴
∴fn（x）=xfn﹣1（x）+a
∵任意的n∈N*，fw（1）=1，
∴a=0，
∴fn（x）=xfn﹣1（x）
∵f1（x）=x（x≠0），
∴
（2）证明：Fn（x）==
∴Fn（2）===2（﹣）
∴F1（2）+F2（2）+…Fn（2）=2（﹣）＜1
（3）gn（x）=Cn0+2Cn1f1（x）+3Cn2f2（x）+…+（n+1）Cnxfn（x）
             =Cn0+2xCn1+3x2Cn2+…+（n+1）xnCnx=[x（1+x）n] ’
             =（1+x）n+nx（1+x）n﹣1
                 =[（n+1）x+1]（1+x）n﹣1
设Sn（x）=g1（x）+g2（x）+…+gn（x）
=（2x+1）+（3x+1）（1+x）+…+[（n+1）x+1]（1+x）n﹣1 ，①
∴（1+x）Sn（x）=（2x+1）（1+x）+（3x+1）（1+x）2+…+[（n+1）x+1]（1+x）n，②
①﹣②化简可得：﹣xSn（x）=x﹣（n+1）x（1+x）n
∴Sn（x）=（n+1）（1+x）n﹣1
∴不存在实数x，使得g1（x）+g2（x）+…gn（x）=（n+1）（1+x）n．

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已知f1（x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，fw（1）=1，且fmax（x）=fv（x）+xfne（x）．（1）求fn（x）的解析式；（2）设Fn（x）=，求证：F1（2）+F2（2）+…Fn（

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