直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=.(1)证明:CB1⊥BA1;(2)已知AB=2,BC=,求三棱锥C1-ABA1的体积.-高三数学

题目简介

直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=.(1)证明:CB1⊥BA1;(2)已知AB=2,BC=,求三棱锥C1-ABA1的体积.-高三数学

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直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=.

(1)证明:CB1⊥BA1
(2)已知AB=2,BC=,求三棱锥C1-ABA1的体积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明详见解析;(2)

试题分析:(1)连结AB1,则AC⊥BA1.,又∵AB=AA1,∴四边形ABB1A1是正方形,∴BA1⊥AB1,由直线与平面垂直的判定定理可的BA1⊥平面CAB1,故CB1⊥BA1.(2)首先求出A1C1的值,由(1)知,A1C1⊥平面ABA1,即A1C1是三棱锥C1-ABA1的高,然后在求出△ABA1的面积,最后根据棱锥的体积公式求解即可.
试题解析:解:(1)证明:如图,连结AB1,

∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠CAB=
∴AC⊥平面ABB1A1,故AC⊥BA1.  3分
又∵AB=AA1,∴四边形ABB1A1是正方形,
∴BA1⊥AB1,又CA∩AB1=A.
∴BA1⊥平面CAB1,故CB1⊥BA1.                 6分
(2)∵AB=AA1=2,BC=,∴AC=A1C1=1,     8分
由(1)知,A1C1⊥平面ABA1,                    10分
∴VC1-ABA1=S△ABA1·A1C1=×2×1=.        12分

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