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如图，在直线三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，异面直线A1B与B1C1所成的角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；（Ⅱ）设D是BB1的中点，求DC1与平面A1BC1所成角

题目简介

如图，在直线三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，异面直线A1B与B1C1所成的角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；（Ⅱ）设D是BB1的中点，求DC1与平面A1BC1所成角

题目详情

如图，在直线三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）设D是BB₁的中点，求DC₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）本题关键是证明

平面

（Ⅱ）

试题分析：解:(Ⅰ)

三棱柱

是直三棱柱,

平面

,

.
又

,

平面

平面

,

平面

,从而

.
(Ⅱ)如图,以

点为原点,

为

轴正方向,

线段长度为单位长度,建立空间直角坐标系.

设

,则

,

,

,
则

由于直线

与

所成的角为

,
所以

,

.

,

,

设平面

的法向量

,

,可取

.

,

.
于是

,
所以

与平面

所成角的正弦值为

.
点评：在立体几何中，常考的定理是：直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理。当然，此类题目也经常要我们求出几何体的体积和表面积。

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