已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是上底面对角线A1C1、B1D1的交点,体对角线A1C交截面AB1D1于点P,求证:O1、P、A三点在同一条直线上.-高二数学

题目简介

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是上底面对角线A1C1、B1D1的交点,体对角线A1C交截面AB1D1于点P,求证:O1、P、A三点在同一条直线上.-高二数学

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已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是上底面对角线A1C1、B1D1的交点,体对角线A1C交截面AB1D1于点P,求证:O1、P、A三点在同一条直线上.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:如图所示,
∵A1C1∩B1D1=O1,∴O1∈A1C1,O1∈B1D1.
又∵A1C1⊂平面A1C,B1D1⊂平面AB1D1,∴O1∈平面A1C,O1∈平面AB1D1.
又∵A1C∩平面AB1D1=P,∴P∈A1C,P∈平面AB1D1.∴P∈平面A1C.
又∵A∈平面A1C,A∈平面AB1D1,
∴O1、P、A三点都是平面AB1D1与平面A1C的公共点,
∴O1、P、A三点在同一条直线上.

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