首页 > 已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为2．（1）求z；（2）设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A，B，C，求∠ABC的余弦值．-高二数学

已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为2．（1）求z；（2）设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A，B，C，求∠ABC的余弦值．-高二数学

题目简介

已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为2．（1）求z；（2）设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A，B，C，求∠ABC的余弦值．-高二数学

题目详情

已知复数z满足|z|=
2
，z2的虚部为2．
（1）求z；
（2）设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A，B，C，求∠ABC的余弦值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设z=a+bi（a、b∈R），z2=（a+bi）2=a2-b2+2abi…（1分）
∵|z|=
a2+b2
=
2
，∴a2+b2=2，…①
又∵z2的虚部为2，∴2ab=2…②…（2分）
①②联解，得a=b=-1或a=b=1…（3分）
∴z=1+i或-1-i…（4分）
（2）（i）当z=1+i时，z2=2i，z-z2=1-i…（5分）
可得A（1，1），B（0，2），C（1，-1）．
∴AB=
2
，AC=2，BC=
10
，
可得cos∠ABC=class="stub"2+10-4
2×
2
×
10
=class="stub"2
5
5
，…（9分）
（ii）当z=-1-i，z2=2i，z-z2=-1-3i，…（10分）
可得A（-1，-1），B（0，2），C（-1，-3）．
∴AB=
10
，AC=2，BC=
26
，
可得cos∠ABC=class="stub"26+10-4
2×
26
×
10
=class="stub"8
65
65
…（13分）

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