如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．(1)证明：BD⊥EC1；(2)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC1，求AA1的长．-高

题目简介

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形，O是BD的中点，E是棱AA₁上任意一点．

(1)证明：BD⊥EC₁；
(2)如果AB＝2，AE＝

，OE⊥EC₁，求AA₁的长．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）见解析（2）3

(1)连接AC，A1C1.由底面是正方形知，BD⊥AC.

因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD.
又AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.
因为EC1⊂平面AA1C1C知，BD⊥EC1.
(2)设AA1的长为h，连结OC1.
在Rt△OAE中，AE＝

，AO＝

，
故OE2＝(

)2＋(

)2＝4.
在Rt△EA1C1中，A1E＝h－

，A1C1＝2

，
故E

＝(h－

)2＋(2

)2.
在Rt△OCC1中，OC＝

，CC1＝h，O

＝h2＋(

)2.
因为OE⊥EC1，所以OE2＋E

＝O

，即
4＋(h－

)2＋(2

)2＝h2＋(

)2，
解得h＝3

，所以AA1的长为3