首页 > 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求棱锥C-PBD的高．-数学

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求棱锥C-PBD的高．-数学

题目简介

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求棱锥C-PBD的高．-数学

题目详情

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求棱锥C-PBD的高．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：兰州一模

答案


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（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．
又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）∵VC-PBD=VP-CBD，设棱锥C-PBD的高为h，
∴class="stub"1
3
h⋅S△PBD=class="stub"1
3
PA⋅S△CBD   …（8分）
∵PA=AB，AB=2，∠BAD=60°，
∴PB=PD=2
2
，BD=2
∴S△PBD=class="stub"1
2
BD⋅
PB2-(class="stub"1
2
BD)2
=
7
，S△CBD=class="stub"1
2
BD⋅class="stub"1
2
AC=
3
，…（10分）
∴h=
PA⋅S△CBD
S△PBD
=
2
21
7
．
即棱锥C-PBD的高为
2
21
7
．…（12分）

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